Arabertal (De almindelige tal)

Arabertal burde faktisk hedde Indertal, da de er opfundet og brugt i Indien siden ca. 500 F.K. Herfra kom det til de arabiske områder og videre derfra til Europa.

Arabertal er opbygget på en noget anderledes måde end romertallene. Hvor hvert ciffer i romertallene havde en entydig værdi uanset hvor det var placeret, har arabertallets ciffer værdi efter placering. Denne form for systemer kaldes under et for decimal tal systemer, fordi de alle arbejder omkring et decimal punkt.

Arabertallene består af ti cifre, som har hver deres betydning. Det at der er ti cifre har givet systemet navnet ti tals systemet. Cifrene er {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. I modsætning til romertallene er den mindste værdi nul = ingenting. Det er en vigtig værdi, som vi skal se om lidt.

Men lad os først se lidt på de cifre. De ligner jo til forveksling dem fra romertallene. De kan jo også kun spring i heltal altså ikke nogle brøker.

= 0 = 5
= 1 = 6
= 2 = 7
= 3 = 8
= 4 = 9

Det er da også ganske rigtig. De arabiske cifre er også “kun” tælle cifre, men selve arabertallet benytter, i modsætning til romertallet, også cifrets position til værdisætning. For at kunne gøre det har man indført et decimalpunkt (,) som er udgangspunkt for cifrets position. Opbygningen er følgende: (X svare til et ciffer)

X, Cifret *1 (100) ,X Cifret * 1/10 (10-1)
Xx, Cifret * 10 (101) ,xX Cifret * 1/100 (10-2)
Xxx, Cifret * 100 (102) ,xxX Cifret * 1/1000 (10-3)
Xxxx, Cifret * 1000 (103) ,xxxX Cifret * 1/10000 (10-4)

Det er måske ikke umiddelbart klart at det er opbygget sådan, men lad os se på et par eksembler:

12 1*101 + 2*100 Det bliver man jo ikke nødvendigvis klogere af. Men hvis vi nu siger at hver position kan holde op til 9 poser med et antal kugler i hver hjælper det måske. Så betyder det nemlig at vi har 1 pose med 10 kugler og 2 poser med 1 kugle i hver. Altså i alt tolv kugler.
102 1*103 + 0*101 + 2*100 1 pose med 100 kugler, 0 poser med 10 kugler og 2 poser med 1 kugle i hver. Altså et hundrede og to kugler i alt. Bemærk at når der ikke er nogle tier poser skal der stå 0 på pladsen, for at vise at den er tom.
235 2*103 + 3*101 + 5*100 2 poser med 100 kugler, 3 poser med 10 kugler og 5 poser med 1 kugle i hver. I alt altså to hundrede fem og tredive kugler.

Bemærk i øvrig at der ikke altid sættes noget decimal tegn, når der ikke er nogle betydende decimaler. Men om man skriver 12 eller 12,0 er fuldstændigt lige meget, da det jo er cifrenes placering der sammen med cifrenes værdi giver tallet. Hvis der er betydende decimaler skal man angive decimal punktet.

Det er jo alt sammen godt nok, men hvad med de decimaler? Det første man skal bemærke er at der ikke er en position for 10-0, da det vil være det samme som 100 som er den første position til venstre for decimal punktet. (Det er en matematisk definition at opløftes noget i nulte potens er resultatet altid 1 uanset fortegn.)

Den næste man skal bemærke er symmetrien i systemet. Hvor heltalsdelen (det til venstre for decimal punket) stiger med faktor 1 hver gang man går en position til venstre så falder decimaldelen med en faktor 1 hver gang man går en position til højre. (104103 102 101 100, 10-1 10-2 10-3 10-4). I den forbindelse skal det måske bemærkes at symmetrien er omkring 100, og ikke kun omkring decimal tegnet.

Ok, hvordan bruger man så det system. Lad os først foretage en sammenlægning af 2 tal. Lad os tage tallet 10,25 og lægge 3,453 til.

Det første vi skal gøre at at sikre decimal punkterne er placeret ens. Da det ene tal er med 3 decimaler skal det andet også være det altså skal 10,25 skrives som 10,250. Nu kan vi så lægge cifrene sammen fra højre mod venstre. Altså fra laveste værdi mod højeste.

[1]           [2]           [3]           [4]

                                                    (1)
        10,250        10,250        10,250        10,250
       + 3,453    -> + 3,453    -> + 3,453    -> + 3,453
       -------       -------       -------       -------
      resultat             3           103            03

Opstillingen af regnestykket bliver som vist under [1] og vi er nu klart til at lave beregningen. [2] viser beregningen af de første (mindst betydende) cifre 0 + 3. Det er der ingen problemer med, summen er 3 som bare skrives på den tilsvarende plads for resultatet. Ved [3] optræder det første problem. 5 + 5 = 10, som ikke kan stå med et ciffer. Den plads hvor 1 kommer til at stå skal vi jo lave en beregning 2 + 4. Løsningen er at skrive 0 og flytte 1 op som mente som det vises i [4].

[5]           [6]           [7]           [8]

          (1)
        10,250        10,250        10,250        10,250
       + 3,453    -> + 3,453    -> + 3,453    -> + 3,453
       -------       -------       -------       -------
           703          ,703         3,703        13,703

I [5] fortsætter vi med at lægge cifrene sammen 2 + 4 = 6 og så skal vi huske menten. Altså 2 + 4 + 1 = 7. Det næste er at føre komma ned som vist i [6]. [7] og [8] er de sidste cifre vi skal lægge sammen og vi har resultatet 13,703.

Der er forhåbentlig ikke nogen overraskelser her. Jeg kunne fortsætte med minus, gange og division men det vil jeg undlade, da jeg forventer at alt dette er velkendt.

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *